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“如果通过变量重新命名后可以写成如下形式:
a(u,···,uq,y)=iyd+y的低次项;
a(u,···,uq,y,y2)=iyd+y的低次项;
······
“ap(u,···,uq,y,···,yp)=ipyp+yp的低次项。”
“.设as={a1···,ap}、j为ai的初式的乘积.对于以上概念,定义sat(as)={p|存在正整数n使得jnp∈(as)}”
稿纸上,徐川用圆珠笔将脑海中的一些知识点重新写了一遍。
今年上半年,他跟随着的德利涅和威腾两位导师,学到了相当多的东西。
特别是在数学领域中的群构、微分方程、代数、代数几何这几块,可以说极大的充实了自己。
而米尔扎哈尼教授留给他的稿纸上,有着一部分微分代数簇相关的知识点,他现在正在整理的就是这方面的知识。
众所周知,代数簇是代数几何里最基本的研究对象。
而在代数几何学上,代数簇是多项式集合的公共零点解的集合。历史上,代数基本定理建立了代数和几何之间的一个联系,它表明在复数域上的单变量的多项式由它的根的集合决定,而根集合是内在的几何对象。
20世纪以来,复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展。
例如,德·拉姆的解析上同调理论,霍奇的调和积分理论的应用,小平邦彦和斯潘塞的变形理论等等。
这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
而这其中,代数几何的核心代数簇也被随之应用到其他领域中,如今的代数簇已经以平行推广到代数微分方程,偏微分方程等领域。
但在代数簇中,依旧有着一些重要的问题没有解决。
其中最关键的两个分别是‘微分代数簇的不可缩分解’和‘差分代数簇的不可约分解’。
尽管ritt等数学家早在二十世纪三十年代就已经证明:任意一个差分代数簇可以分解为不可约差分代数簇的并。
但是这一结果的构造性算法一直未能给出。
简单的来说,就是数学家们已经知道了结果是对的,却找不到一条可以对这个结果进行验算的路。
这样说虽然有些粗糙,但却是相当合适。
而在米尔扎哈尼教授的稿纸上,徐川看到了这位女菲尔兹奖得主朝这方面努力的一些心得。
应该是受到了此前他在普林斯顿交流会上的影响,米尔扎哈尼教授在尝试给定两个不可约微分升列as1,as2,判定sat(as1)是否包含sat(as2)。
这是‘微分代数簇的不可缩分解’的核心问题。
熟悉了整个稿纸,并且跟随德利涅教授在这方面深入学习过的他,很容易的就理解了米尔扎哈尼教授的想法。
在这个核心问题中,米尔扎哈尼教授提出了一个不算全新却也新颖的想法。
她试图通过构建一个代数群、子群和环面,来进一步做推进。
而建立这些东西所使用的灵感和方法,就来源于他之前在普林斯顿的交流会以及weyl-berry猜想的证明论文上。
“很巧妙的方法,或许真的能将代数簇推广到代数微分方程上面去,可能过程会稍微曲折了一点.”
盯着稿纸上的笔迹,徐川眼眸中流露出一丝兴趣,从桌上扯过一张打印纸,手中的圆珠笔在上面记录了起来。
“.微分代数簇的不可缩分解问题从广义上来讲,其实已经被ritt-吴分解定理包含在内了。”
“但是ritt-吴分解定理在有限步内构造不可约升列ask,并构建了诸多的分解,而在这些分解中,有些分支是多余的.要想去掉这些多余分支,就需要计算sat(as)的生成基了。”
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